已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于
已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当CD=时,求直线CD的方程;
(3)经过A,P,M三点的圆是否经过异于点M的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.
答案和解析
设P(2m,m),由题可知MP=2,所以(2m)
2+(m-2)
2=4,
解之得:m=0或m=
,
故所求点P的坐标为P(0,0)或P(,).
(2)设直线CD的方程为:y-1=k(x-2),易知k存在,
由题知圆心M到直线CD的距离为,所以=,
解得,k=-1或k=-,故所求直线CD的方程为:x+y-3=0或x+7y-9=0.
(3)设P(2m,m),MP的中点Q(m,+1),
因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,
故其方程为:(x-m)2+(y--1)2=m2+(-1)2,
化简得:x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式,
故x2+y2-2y=0且(2x+y-2)=0,
解得或
所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或(,).
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