考虑二元函数f（x，y）的四条性质：①f（x，y）在点（x0，y0）处连续，②f（x，y）在点（x0，y0）处的一阶偏导数连续，③f（x，y）在点（x0，y0）处可微，④f（x，y）在点（x0，y0）处的一阶

Question

考虑二元函数f（x，y）的四条性质：
①f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续，
②f（x，y）在点（x₀，y₀）处的一阶偏导数连续，
③f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微，
④f（x，y）在点（x₀，y₀）处的一阶偏导数存在．
则有（　　）

A．②⇒③⇒①
B．③⇒②⇒①
C．③⇒④⇒①
D．③⇒①⇒④

Answer 1

首先，对于多元函数，可偏导，可微，连续，偏导数连续四者有如下关系：
（1）函数可微⇒函数可偏导；
（2）函数可微⇒函数连续；
（3）函数偏导数连续⇒函数可微；
对于选项A：
f（x，y）在点（x₀，y₀）处的一阶偏导数连续⇒f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微⇒f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续，都满足上述三个关系，
故A对．
对于选项B：
f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微不一定能推出f（x，y）在点（x₀，y₀）处的一阶偏导数连续；即③不能推出②，
故B不对．
对于选项C：
f（x，y）在点（x₀，y₀）处的一阶偏导数存在不一定能推出f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续；即④不能推出①，
故C不对．
对于选项D：f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续不一定能推出f（x，y）在点（x₀，y₀）处的一阶偏导数存在；即①不能推出④，
故D不对． 
故选：A．