已知函数f(x)=x+a/x+b,(x≠0),其中a、b∈R.（1）若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若对于任意的a∈[1/2,2],不等式f(x)≤10在[1/4,1]

Question

已知函数f(x)=x+a/x+b,(x≠0),其中a、b∈ R.
（1）若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1 ,求函数f(x)的解析式；
（2）讨论函数f(x)的单调性；
（3）若对于任意的 a∈[1/2,2],不等式f(x)
≤ 10在[1/4,1]上恒成立,求b的取值范围.

Answer 1

这道题用导数很好做的
(1)f'(x)=1-a/x^2
f'(2)=1-a/4=3,得a=-8
∴f(x)=x-8/x+b
∴f(2)=b-2
b-2=7,b=9
(2)f'(x)=1-a/x^2
第一种情况,a≤0,f'(x)>0,f(x)单调递增
第二种情况,a>0,令f'(x)=0得x=正负根号a
画表格得：
当x∈(-∞,-根号a)时,f(x)单调增
当x∈(-根号a,根号a)时,f(x)单调减
当x∈(根号a,∞)时,f(x)单调减
综上,当a≤0时,f(x)单调递增区间为(-∞,0)∪(0,+∞)
当a0,∴x+2/x+b≤10对x∈[1/4,1]恒成立
令g(x)=x+2/x+b,g'(x)=1-4/x^2