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(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE=AD.(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边
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(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE=AD.
(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是______(只填序号即可)
①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;
(3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.
(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是______(只填序号即可)
①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;
(3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
∵在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD;
(2)①②③都正确,
理由是:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∴②正确;
同理△FDC≌△BDE,
∴BE=CF,
∴BE=AD=CF,∴①正确;
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CEP=∠CDA,
∵∠CED=∠CDE=60°,
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP,
∴∠DPE=180°-60°-60°=60°,
同理∠EPC=∠CPA=60°,即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°,∴③正确;
故答案为:①②③;
(3)证明:在PE上截取PM=PC,连接CM,
由(1)可知,△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠1=∠2
设CD与BE交于点G,在△CGE和△PGD中,
∵∠1=∠2,∠CGE=∠PGD,
∴∠DPG=∠ECG=60°,
同理∠CPE=60°,
∴△CPM是等边三角形,
∴CP=CM,∠PMC=60°.
∴∠CPD=∠CME=120°.
∵∠1=∠2,
∴△CPD≌△CME(AAS),
∴PD=ME,
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD,
即PB+PC+PD=BE.
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
∵在△BCE和△ACD中
|
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD;
(2)①②③都正确,
理由是:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中
|
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∴②正确;
同理△FDC≌△BDE,
∴BE=CF,
∴BE=AD=CF,∴①正确;
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CEP=∠CDA,
∵∠CED=∠CDE=60°,
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP,
∴∠DPE=180°-60°-60°=60°,
同理∠EPC=∠CPA=60°,即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°,∴③正确;
故答案为:①②③;
(3)证明:在PE上截取PM=PC,连接CM,
由(1)可知,△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠1=∠2
设CD与BE交于点G,在△CGE和△PGD中,
∵∠1=∠2,∠CGE=∠PGD,
∴∠DPG=∠ECG=60°,
同理∠CPE=60°,
∴△CPM是等边三角形,
∴CP=CM,∠PMC=60°.
∴∠CPD=∠CME=120°.
∵∠1=∠2,
∴△CPD≌△CME(AAS),
∴PD=ME,
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD,
即PB+PC+PD=BE.
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