已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长

Question

已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（　　）

A.

(4)/(3)

B.

(24)/(5)

C.

(4)/(3)或(24)/(5)

D.

(2)/(3)或(12)/(5)

Answer 1

如图1，当A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b-2，CF=b-4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，
∴点B与点C、点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF，
∴BE：CD=ED：DF=BD：CF，即（b-2）：a=3：2=a：（b-4），
解得a=(12)/(5)，
∴BC=2a=(24)/(5)；
如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点时，设BA=AC=a，BD=CD=b，则BE=b-3，CF=b-2，
∵BD=CD，
∴∠B=∠C，
∴点B与点C为对应点，
若点E与点F、点A与点C为对应点，
由△BEA∽△CFA，可得BE：CF=EA：FA=BA：CA，即（b-3）：（b-2）=2：4=a：a，无解；
若点E与点A，点A与点F为对应点，
由△BEA∽△CAF，可得BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b-3）：a=2：4=a：（b-2），解得a=(2)/(3)，b=(10)/(3)，
此时BA=(2)/(3)，BE=b-3=(1)/(3)，BE、BA、EA不能构成三角形，故此种情况不成立；
综上所述，这个等腰三角形底边长为(24)/(5)．
故选B．