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如图1,已知点P是线段AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作等边△APC和等边△PBD.连接AD、BC,相交于点Q,AD交CP于点E,BC交PD于点F(1)图1中有对全等三角
题目详情
如图1,已知点P是线段AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作等边△APC和等边△PBD.连接AD、BC,相交于点Q,AD交CP于点E,BC交PD于点F
(1)图1中有______对全等三角形;(不必证明)
(2)图1中设∠AQC=α,那么α=______°;(不必证明)
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?请说明理由.
(1)图1中有______对全等三角形;(不必证明)
(2)图1中设∠AQC=α,那么α=______°;(不必证明)
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)△APD≌△CPB,△EPD≌△FPB,△APE≌△CPF,一共有3对.
故答案为:3;
(2)∵△APC是等边三角形,
∴PA=PC,∠APC=60°,
∵△BDP是等边三角形,
∴PB=PD,∠BPD=60°,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,
在△APD和△CPB中,
,
∴△APD≌△CPB(SAS),
∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠AQC=180°-120°=60°;
故答案为:60;
(3)此时α的大小不会发生改变,始终等于60°.
理由:∵△APC是等边三角形,
∴PA=PC,∠APC=60°,
∵△BDP是等边三角形,
∴PB=PD,∠BPD=60°,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,
在△APD和△CPB中,
,
∴△APD≌△CPB(SAS),
∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴α=∠AQC=180°-120°=60°.
故答案为:3;
(2)∵△APC是等边三角形,
∴PA=PC,∠APC=60°,
∵△BDP是等边三角形,
∴PB=PD,∠BPD=60°,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,
在△APD和△CPB中,
|
∴△APD≌△CPB(SAS),
∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠AQC=180°-120°=60°;
故答案为:60;
(3)此时α的大小不会发生改变,始终等于60°.
理由:∵△APC是等边三角形,
∴PA=PC,∠APC=60°,
∵△BDP是等边三角形,
∴PB=PD,∠BPD=60°,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB,
在△APD和△CPB中,
|
∴△APD≌△CPB(SAS),
∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
∴α=∠AQC=180°-120°=60°.
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