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设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,已知当x∈(0,1)时,f(x)=lg11−x,f(x)在(1,2)上是()A.减函数且f(x)>0B.增函数且f(x)>0C.减函数且f(x)<0D.增函数且f(x)<
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设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,已知当x∈(0,1)时,f(x)=lg
,f(x)在(1,2)上是( )
A. 减函数且f(x)>0
B. 增函数且f(x)>0
C. 减函数且f(x)<0
D. 增函数且f(x)<0
1 |
1−x |
A. 减函数且f(x)>0
B. 增函数且f(x)>0
C. 减函数且f(x)<0
D. 增函数且f(x)<0
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)是R上的奇函数,∴x∈R时,f(-x)=-f(x);
当x∈(0,1)时,f(x)=lg
,
∴x∈(-1,0)时,有-x∈(0,1),
∴f(-x)=lg
,
∴-f(x)=lg
,
∴f(x)=-lg
=lg(1+x);
且0<1+x<1,∴f(x)=lg(1+x)<0;
又f(x)是最小正周期为2的函数,
∴f(x)在(1,2)的图象与x∈(-1,0)的图象相同,是增函数,且f(x)<0.
故选:D.
当x∈(0,1)时,f(x)=lg
1 |
1−x |
∴x∈(-1,0)时,有-x∈(0,1),
∴f(-x)=lg
1 |
1+x |
∴-f(x)=lg
1 |
1+x |
∴f(x)=-lg
1 |
1+x |
且0<1+x<1,∴f(x)=lg(1+x)<0;
又f(x)是最小正周期为2的函数,
∴f(x)在(1,2)的图象与x∈(-1,0)的图象相同,是增函数,且f(x)<0.
故选:D.
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