设椭圆3x2+y2=6中有一内接三角形PAB,过O、P的直线的倾斜角为60度,直线AP、BP的斜率符合条件KAP+KBP=0.求证：过A、B的直线的斜率是定值.

Question

设椭圆3x2+y2=6中有一内接三角形PAB,过O、P的直线的倾斜角为60度,直线AP、BP的斜率符合条件K AP+K BP=0.
求证：过A、B的直线的斜率是定值.

Answer 1

首先易求得P（1,√3(根号3））,∴设直线AP为y-√3=k（x-1）,与椭圆方程联立消去得
（k*2+3）x*2++(2√3k-2k*2)x+k*2-2√3k-3=0.
设A（X1,Y1),B(X2,Y2).由韦达定理知Xp×X1=k*2-2√3k-3／k*2+3,又Xp=1
∴X1=k*2-2√3-3／k*2+3.∴Y1=k（X1-1）+√3=-√3k*2-6k+3√3／k*2+3
同理,用-k取代k可得X2=k*2+2√3k-3／k*2+3,Y2=-k(X2-1)+√3=-√3k*2+6k+3√3／k*2+3
∴K（AB）=（Y2-Y1)／(X2-X1)=12k／4√3k=√3（定值）.证毕.