数列证明题（在线等,完成后在多给分）下面的a(1),a(2),.a(n)都是数组的项.a(n)*2是a(n)的平方,x是乘号,3*n是3的n次方1.数列a(n)满足a(n+1)=a(n)*2(是平方,不是2倍)-nxa(n)+1;证当a(1)>=3时有1/(1+a(1))+1/(1+a(

Question

数列证明题（在线等,完成后在多给分）
下面的a(1),a(2),.a(n)都是数组的项.a(n)*2是a(n)的平方,x是乘号,3*n是3的n次方
1.数列a(n)满足a(n+1)=a(n)*2(是平方,不是2倍)-n x a(n)+1;
证当a(1)>=3时有1/(1+a(1)) + 1/(1+a(2)) +.+1/(1+a(n))<=1/2;
2.设b(n)=3*n/(3*n-1),证b(1) x b(2) x.x b(n)<2.

Answer 1

1.
a(n+1)+1=an^2-n*an+1+1=an^2-n*an+2>2(an+1)
a(1)>=3
1/(1+a(1))<=1/4
1/(1+a(1)) + 1/(1+a(2)) +.+1/(1+a(n))
<1/4*(1+1/2+1/2^2+……+1/2^n)
<1/2
2.
((3-1)/3)*((3^2-1)/3^2)*……*((3^n-1)/3^n)
=(1-1/3)*(1-1/3^2)*……*(1-1/3^(n-1))*(1-1/3^n)
=(1-1/3)*(1-1/3^2)*……*(1-1/3^(n-1))-(1-1/3)*(1-1/3^2)*……*(1-1/3^(n-1))*1/3^n
>(1-1/3)*(1-1/3^2)*……*(1-1/3^(n-1))-1/3^n
>(1-1/3)*(1-1/3^2)*……*(1-1/3^(n-2))-1/3^(n-1)-1/3^n
>……
>1-1/3-1/3^2-……-1/3^n
=1-(1/3)*(1-1/3^n)/(1-1/3)
>1-(1/3)*1/(1-1/3)
=1/2
故(3/(3-1))*(3^2/(3^2-1))*……*(3^n/(3^n-1))<2