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已知S＝1+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²,则S的范围是?
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已知S＝1+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²,则S的范围是?
▼优质解答
答案和解析
【1】
易知,对任意正整数n,
恒有:n(n-1)＜n²＜n(n+1).n=1,2,3,.
∴1/[n(n+1)]＜1/n²＜1/[n(n-1)]
即有:
(1/n)-[1/(n+1)]＜1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n)
【2】
由上面结果的右边可得：
1/2²＜1-(1/2)
1/3²＜(1/2)-(1/3)
1/4²＜(1/3)-(1/4)
1/5²＜(1/4)-(1/5)
.
1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n)
上式累加,可得
(Sn)-1＜1-(1/n)
∴Sn＜2-(1/n)＜2
即Sn＜2
又显然Sn≧1
∴1≦Sn＜2
易知,对任意正整数n,
恒有:n(n-1)＜n²＜n(n+1).n=1,2,3,.
∴1/[n(n+1)]＜1/n²＜1/[n(n-1)]
即有:
(1/n)-[1/(n+1)]＜1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n)
【2】
由上面结果的右边可得：
1/2²＜1-(1/2)
1/3²＜(1/2)-(1/3)
1/4²＜(1/3)-(1/4)
1/5²＜(1/4)-(1/5)
.
1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n)
上式累加,可得
(Sn)-1＜1-(1/n)
∴Sn＜2-(1/n)＜2
即Sn＜2
又显然Sn≧1
∴1≦Sn＜2
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