某化工厂有一个容器的容积V,装满了浓度为100%的纯酒精,现欲使其稀释,从中倒出十分之一后用清水兑满,再从中倒出再用清水兑满,若反复进行n次,则所得的溶液的浓度为浓度不超过50％至少

Question

某化工厂有一个容器的容积V,装满了浓度为100%的纯酒精,现欲使其稀释,从中倒出 十分之一后用清水兑满,再从中倒出 再用清水兑满,若反复进行n次,则所得的溶液的浓度为 浓度不超过50％至少要进行进几次?

Answer 1

设第k次倒出酒精溶液前,其浓度为a(k)
依题意知,a(1)=100%=1
a(k+1)=[V-(V/10)]a(k)/V=(9/10)a(k)
故数列{a(k)}为首项为a(1)=1,公比q=9/10的等比数列
∴反复进行n次,则所得的溶液的浓度为
a(n+1)=a1*q^n=[(9/10)^n]*100%
浓度不超过50％, 则
a(n+1)=[(9/10)^n]*100%≤50%
即(9/10)^n≤0.5
解得
n≥log (0.9) 0.5
n≥lg 0.5/lg 0.9
n≥6.58
∴n(min)=7
浓度不超过50％至少要进行7次