可降阶的二阶微分方程的问题同济第五版高等数学教材12-6的课后习题(4)y''=1+y'^2(10)y''=(y')^3+y'这两道题同样都不含参数x但是第(4)题是不显含y的二阶微分方程,而第（10)题是不显含x的微分方程,

Question

可降阶的二阶微分方程的问题
同济第五版高等数学教材12-6的课后习题
(4)y''=1+y'^2
(10)y''=(y')^3+y'
这两道题同样都不含参数x 但是第(4)题是不显含y的二阶微分方程,而第（10)题是不显含x的微分方程,解法中两题很不一样,请问如何判断这样的方程是不显含y还是不显含x
第四题你做的是对的,按照参考答案 第四题是不显含y的方程,而第十题是不显含x的方程,因而方法不同,至于如何判断,我已经一个头两个大了是同济第五版高数的原题,12章第六节的课后习题,相应同济第六版微分方程章节课后习题也有一摸一样的.

Answer 1

4. 继续： y ' = tan(x+C1)
=> y = - ln| cos(x+C1)| + C2
10. 继续：1+1/p^2=e^(-2x-2C1)
=> p = 1/ [ e^(-2x-2C1) - 1 ]^(1/2)
=> y ' = e^(x+C1) / [ 1 - e^(2x+2C1) ]^(1/2)
=> y = arcsin[ e^(x+C1)] + C2
两题的结果都与书上一致.不过 10. 如果选用你所说的方法,积分过程会简单的多.
但是通常这样的题目选择设 y ' = p(x) 居多.