反比例函数的图像与双曲线的图像很相像,并且其图像的x,y轴又与双曲线的渐近线又有异曲同工之妙.请问,反比例函数的图像是双曲线吗?若是,请证明.

Answer 1

双曲线的标准公式为：
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c 0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的,可以设旋转的角度为 a （a0）
则有
X = xcosa + ysina
Y = xcosa - ysina
X^2 - Y^2 = (xcosa+ysina)^2 -(xcosa - ysina)^2
= 4xy(cosasina)
= 4c(cosasina)
所以
X^2/4c(cosasina) - Y^2/4c(cosasina) = 1 (4c(cosasina)>0)
Y^2/(-4c(cosasina)) - X^2/(-4c(cosasina)) = 1 (4c(cosasina)