已知：一元二次方程12x2+kx+k-12=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k＜0，当二次函数y=12x2+kx+k-12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析

Question

已知：一元二次方程(1)/(2)x²+kx+k-(1)/(2)=0．
（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=(1)/(2)x²+kx+k-(1)/(2)的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？

Answer 1

（1）证明：∵△=k²-4×(1)/(2)×（k-(1)/(2)）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴关于x的一元二次方程(1)/(2)x²+kx+k-(1)/(2)=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）令y=0，则(1)/(2)x²+kx+k-(1)/(2)=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=√((xA+xB)2−4xAxB)=√(4k2−8k+4)=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1．
∴此二次函数的解析式是y=(1)/(2)x²-x-(3)/(2)；
（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=(1)/(2)x²-x-(3)/(2)．
易求A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），
∴AB=4，AC=2√(2)，BC=2√(2)．
显然AC²+BC²=AB²，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，
∴外接圆的直径为AB=4，
∴-2≤m≤2．