设矩阵A（m*n）的秩为n则非齐次线性方程组Ax=b为什么一定有唯一解?我的看了解答那当r（A,b）=n+1时方程应该是无解阿怎么会一定有唯一解阿

Question

设矩阵A（m*n）的秩为n则非齐次线性方程组Ax=b为什么一定有唯一解?
我的看了解答 那当r（A,b）=n+1时 方程应该是无解阿 怎么会一定有唯一解阿

Answer 1

用 f 表示与矩阵 A 对应的线性映射 f :K^n -----> K^m.如果齐次方程 A x = b 有非零解,显然 b 在 f 下的原像不唯一.所以 A x = f(x) = b 有唯一解的充分必要条件是1) b 属于 像空间 Im (f) 并且 2) 核空间 Ker (f) = {0}.利用增广矩阵,条件1) 等价于rank(A) = rank(A,b) 另一方面,利用维数定理n = dim.Im(f) + dim.Ker(f)条件 2) 等价于 rank(A) = n .