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我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的
题目详情
我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时,从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F,利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题:
(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图1),直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N,小明发现MM′与N′N相等,请你帮他说明理由;
(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图2),l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N,l与DC的夹角为α,你认为MM′与N′N还相等吗?若相等,说明理由;若不相等,求出
的值(用含α的三角函数表示).
(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图1),直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N,小明发现MM′与N′N相等,请你帮他说明理由;
(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图2),l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N,l与DC的夹角为α,你认为MM′与N′N还相等吗?若相等,说明理由;若不相等,求出
MM′ |
N′N |
▼优质解答
答案和解析
(1)在方形环中,
∵M'E⊥AD,N'F⊥BC,AD∥BC,
∴M'E=N'F,∠M'EM=∠N'FN=90°,∠EMM'=∠N'NF,
∴△MM'E≌△NN'F.
∴MM'=N'N;(5分)
(2)解法一:∵∠NFN'=∠MEM'=90°,∠FNN'=∠EM'M=α,
∴△NFN'∽△M'EM. (8分)
∴
=
.
∵M'E=N'F,
∴
=
=tanα(或
). (10分)
①当α=45°时,tanα=1,则MM′=NN′;
②当α≠45°时,MM′≠NN′,
则
=tanα(或
). (12分)
解法二:在方形环中,∠D=90°,
又∵M′E⊥AD,N′F⊥CD,
∴M′E∥DC,N′F=M′E.
∴∠MM′E=∠N′NF=α.
在Rt△NN′F与Rt△MM′E中,
sinα=
,cosα=
tanα=
=
•
=
,
即
=tanα(或
). (10分)
①当α=45°时,MM′=NN′;
②当α≠45°时,MM′≠NN′,则
=tanα(或
). (12分)
∵M'E⊥AD,N'F⊥BC,AD∥BC,
∴M'E=N'F,∠M'EM=∠N'FN=90°,∠EMM'=∠N'NF,
∴△MM'E≌△NN'F.
∴MM'=N'N;(5分)
(2)解法一:∵∠NFN'=∠MEM'=90°,∠FNN'=∠EM'M=α,
∴△NFN'∽△M'EM. (8分)
∴
MM′ |
N′N |
M′E |
NF |
∵M'E=N'F,
∴
MM′ |
N′N |
N′F |
NF |
sinα |
cosα |
①当α=45°时,tanα=1,则MM′=NN′;
②当α≠45°时,MM′≠NN′,
则
MM′ |
NN′ |
sinα |
cosα |
解法二:在方形环中,∠D=90°,
又∵M′E⊥AD,N′F⊥CD,
∴M′E∥DC,N′F=M′E.
∴∠MM′E=∠N′NF=α.
在Rt△NN′F与Rt△MM′E中,
sinα=
N′F |
NN′ |
M′E |
MM′ |
sinα |
cosα |
N′F |
NN′ |
MM′ |
M′E |
MM′ |
NN′ |
即
MM′ |
NN′ |
sinα |
cosα |
①当α=45°时,MM′=NN′;
②当α≠45°时,MM′≠NN′,则
MM′ |
NN′ |
sinα |
cosα |
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