已知函数f（x）=2sin2（π4+x）-3cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[π4，π2]上有解，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2sin²（(π)/(4)+x）-√(3)cos2x
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[(π)/(4)，(π)/(2)]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）=2sin²（(π)/(4)+x）-√(3)cos2x
=1-cos（(π)/(2)+2x）-√(3)cos2x
=1+sin2x-√(3)cos2x
=2sin（2x-(π)/(3)）+1．（1分）
∴周期T=π；（1分）
令2kπ-(π)/(2)≤2x-(π)/(3)≤2kπ+(π)/(2)，解得kπ-(π)/(12)≤x≤kπ+(5π)/(12)，
∴单调递增区间为[kπ-(π)/(12)，kπ+(5π)/(12)]，（k∈Z）．（2分）
（II）∵x∈[(π)/(4)，(π)/(2)]，所以2x-(π)/(3)∈[(π)/(6)，(2π)/(3)]，
∴sin（2x-(π)/(3)）∈[(1)/(2)，1]，
所以f（x）的值域为[2，3]，（4分）
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]（4分）