化二次型为标准形时,变换矩阵C为什么必须是可逆的?我知道因为合同必须是可逆的,但是合同跟化二次型又有什么关系呢?我觉得不可逆也行啊.求详解,

Answer 1

一个简单的例子
F(x1,x2,x3)=x3^2
如果你用不可逆变换 y1=x1,y2=-x1,y3=x3 就可以得到
F(x1,x2,x3)=G(y1,y2,y3)=y3^2
但同时还可以有
F(x1,x2,x3)=G(y1,y2,y3)=y1^2-y2^2+y3^2
这时候G有两种完全不同的表示,无法判定二次型的具体性质,所以不可逆变换的用处要小很多