放缩法不等式的题一共有5道.在知道搜索一下就出来了.已知函数分f(x)=xlnx,设函数g(x)=f(x)+f(k-x),(k>0)若a>0b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2>=f(a+b)-f(b)

Question

放缩法 不等式 的题 一共有5道.在知道搜索一下就出来了.
已知函数分
f(x)=xlnx,设函数 g(x)=f(x)+f(k-x),(k>0)
若a>0 b>0,
证明:
f(a)+(a+b)ln2>=f(a+b)-f(b)

Answer 1

这题其实好简单,你整理一下式子
即求证：
(alna+blnb)/2>=[(a+b)/2]*ln[(a+b)/2]
如果你学过琴生不等式就可以知道这就是让你求证f(x)是一个凹函数,求两次导发现f(x)的二阶导恒大于等于0,就证闭.等号仅在a=b时取到
如果没学过就利用给定函数做
设k=a+b
求证：alna+(k-a)ln(k-a)>=kln(k/2)
左边就是与a有关函数g(a),求导,得g(a)单调增条件是a>=b
则该函数在a属于（0,b)单调减,在（b,+无穷）单调增
验证a=b时等号恰好成立,即证