过点P(3.2)的双曲线H:x2/a2-y2/b2=1（2表示平方）的左焦点为f(-c,0),斜率为-4/3的直线l交H的准线于M.N两点,以mn为直径的圆过原点,求曲线H的方程.1楼的方程我是列了.可是算不对啊.

Question

过点P(3.2)的双曲线H:x2/a2-y2/b2=1（2表示平方）的左焦点为f(-c,0),斜率为-4/3的直线l交H的准线于M.N两点,以mn为直径的圆过原点,求曲线H的方程.
1楼的方程我是列了.
可是算不对啊.

Answer 1

设直线l的方程为y=-4/3(x+c)
双曲线的准线:x=±a^2/c
解出M(a^2/c,-4(a^2+c^2)/3c),N(-a^2/c,-4b^2/3c)
又因为O在以MN为直径的圆上,所以OM⊥ON
然后根据向量垂直,得:
a^4/c^2-16(a^2+c^2)b^2/9c^2=0
化简:9a^4=16b^2(2a^2+b^2) (利用a^2+b^2=c^2)
可得:a^2=4b^2
将点P(3,2)带入双曲线方程得:
9/a^2-4/b^2=1
(9/4-4)/b^2=1
这样b^2就小于零了,P点坐标是不是错了