已知直角三角形,现从斜边BC边上某点D开凿一条隧道到点A,要求隧道长度最短,AB长为5km,则AD长度约为多少

Question

已知直角三角形,现从斜边BC边上某点D开凿一条隧道到点A,要求隧道长度最短,AB长为5km,则AD长度约为多少

Answer 1

设AC长为x,则BC=√(5²+x²)
从A到BC边上的直线,当AD⊥BC时,AD的长度最短
由三角形面积公式知道,S=1/2*AB*AC=1/2*BC*AD
∴AD=AB*AC/BC=5*x/√(5²+x²)=y(x)
即求上式的最小值
对其求导,得
y'=5[√(5²+x²)-x*1/2*(1/√(5²+x²))*2x]/(5²+x²)
=5[√(5²+x²)-x²*(1/√(5²+x²))]/(5²+x²)
=5*5²/(5²+x²)^(3/2)
>0恒成立
∴题目没有给出另一条直角边的限制条件,无法确定最小值
最小值可以无限的减小,直至趋近于零；
也无法确定最大值,可以不断增大,直至趋近于AB=5km