早教吧作业答案频道 -->数学-->
请证明“斯坦纳--来默斯定理”.不用反证法,有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形(斯坦纳--来默斯定理)
题目详情
请证明“斯坦纳--来默斯定理”.不用反证法,
有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形(斯坦纳--来默斯定理)
有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形(斯坦纳--来默斯定理)
▼优质解答
答案和解析
设三角形ABC,∠B=2a,∠C=2b,角平分线BD=CE
分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG
连接AF,AG
则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
所以FAG共线
∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
所以BCGF四点共圆
因△FBD≌△GEC
所以BF=CG,结合共圆条件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB
b+a+a=b+b+a
整理得∠B=∠C 设:△ABC,BD,CE分别为∠B,∠C的角平分线,∠B,∠C的一半分别为α、β
由正弦定理可得:
sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
==>sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2(α+β)+ sin2α]=0
==>sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
==>sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
∴sin[(α-β)/2]=0
∴α=β,∴∠B=∠C; ∴AB=AC
分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG
连接AF,AG
则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
所以FAG共线
∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
所以BCGF四点共圆
因△FBD≌△GEC
所以BF=CG,结合共圆条件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB
b+a+a=b+b+a
整理得∠B=∠C 设:△ABC,BD,CE分别为∠B,∠C的角平分线,∠B,∠C的一半分别为α、β
由正弦定理可得:
sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
==>sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2(α+β)+ sin2α]=0
==>sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
==>sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
∴sin[(α-β)/2]=0
∴α=β,∴∠B=∠C; ∴AB=AC
看了 请证明“斯坦纳--来默斯定理...的网友还看了以下:
请问用数学归纳法证明时,一定要用归纳假设去证明吗?如果不用归纳假设证明出来了,那能证明出命题吗?如果 2020-03-31 …
请证明以下问题!(关于函数极限)f(x)=x的平方,当x为有理数;f(x)=0,当x为无理数.请用 2020-05-14 …
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点分别为AB,点P在椭圆上且异于AB两点,O为坐标原 2020-05-16 …
关于“家庭困难证明怎么写”请帮帮我关于“家庭困难证明怎么写”,我想问是空手到村委会开证明呢?还是将 2020-05-16 …
三个角对应相等的三角形相似请不要告诉我是对还是错,我知道这是对的,求证,也不要告诉我这是定义,这是 2020-05-20 …
换发证书是指在证书将要过期的三个月内或证书过期后,用户申请更换证书(密钥)的操作。() 2020-05-27 …
不等式的综合应用题目是否存在点(mn)满足下列条件1.m+n=22.使直线l:mx+my=1与圆O 2020-06-02 …
《个人认证用户认证申请公函》应该写什么时间:《个人认证用户认证申请公函》自填写完成之日起,2个月内 2020-06-12 …
三角形三条边的斜率(k)的关系?请说明斜率用k表示不用tan请证明!不懂别胡说!可以证明! 2020-06-14 …
证明0.99999无限循环小数=1请证明0.9999999999999999999无限循环小数等于 2020-06-27 …