线性空间L,关于其闭子空间M的商空间为L/M,设a属于L/M,怎么得出来a是L的闭子集的?真心不会证,如果嫌证明太复杂，推荐本讲的详细的书也行，好几本书上都是一带而过了，

Question

线性空间L,关于其闭子空间M的商空间为L/M,设a属于L/M,怎么得出来a是L的闭子集的?真心不会证,
如果嫌证明太复杂，推荐本讲的详细的书也行，好几本书上都是一带而过了，

Answer 1

这是个比较显然的结论
因为a∈L/M,那么任取a中一个代表元x
则a=[x]={y∈L|y=x+z,z∈M}
设{bn}是a中一个收敛列,不妨设bn->b∈L
又存在cn∈M,使得bn=x+cn,所以cn=bn-x->b-x
因为M是闭集,所以b-x∈M
即存在c∈M,使得b-x=c
即b=x+c∈a,所以a是闭集