已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．（1）求f（x）在[0，1]内的值域；（2）c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0在[1，4

Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]内的值域；
（2）c为何值时，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．

Answer 1

由题意得x=-3和x=2是函数f（x）的零点且a≠0，则

0＝a×(−3)2+(b−8)×(−3)−a−ab

0＝a×22+(b−8)×2−a−ab

解得

a＝−3

b＝5

∴f（x）=-3x²-3x+18．
（1）由图象知，函数在[0，1]内单调递减，
∴当x=0时，y=18；
当x=1时，y=12，
∴f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]．
（2）令g（x）=-3x²+5x+C、
∵g（x）在[(5)/(6)，+∞）上单调递减，要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，则需要g（1）≤0．
即-3+5+c≤0，解得c≤-2，
∴当c≤-2时，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．