已知函数f(x)=-2cos平方x-4ksinx-2k+1的最小值为g(k),k属于R（1）求g(k)(2)若g(k)=5,求常数k,及此时函

Question

已知函数f(x)=-2cos平方x-4ksinx-2k+1的最小值为g(k),k属于R（1）求g(k) (2)若g(k)=5,求常数k,及此时函

Answer 1

(1)f(x)＝﹣2cos²x－4ksinx－2k＋1＝﹣2(1－sin²x)－4ksinx－2k＋1＝2sin²x－4ksinx－2k－1
＝2(sinx－k)²－2k²－2k－1
∵﹣1≤sinx≤1
∴当k＜﹣1时,sinx＝﹣1时f(x)取得最小值g(k)＝2×(﹣1)²－4k×(﹣1)－2k－1＝2k＋1
当﹣1≤k≤1时,sinx＝k时f(x)取得最小值g(k)＝﹣2k²－2k－1
当k＞1时,sinx＝1时f(x)取得最小值g(k)＝2×1²－4k×1－2k－1＝1－6k
(2)∵g(k)＝5
∴当k＜﹣1时,g(k)＝2k＋1＝5 k＝2＞﹣1 舍去
当k＞1时,g(k)＝1－6k＝5 k＝﹣2/3＜1 舍去
当﹣1≤k≤1时,g(k)＝﹣2k²－2k－1＝5 ∴k²＋k＋3＝0 无解