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已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4
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已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4
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答案和解析
(*)←[a²+1][b²+1]≥(25/4)ab←a²b²+a²+b²+1≥(25/4)ab←a²b²+(a+b)²+1≥(33/4)ab←a²b²-(33/4)ab+2≥0←4(ab)²-33ab+8≥0←(4ab-1)(ab-8)≥0
由1=a+b≥2√ab,则ab≤1/4,从而4ab-1≤0且ab-8≤0,从而(4ab-1)(ab-8)≥0.从而原不等式成立.
由1=a+b≥2√ab,则ab≤1/4,从而4ab-1≤0且ab-8≤0,从而(4ab-1)(ab-8)≥0.从而原不等式成立.
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