f''(x)=Af^3(x),能用二阶微分方程求出f(x)么?f(x)的表达式是什么?

Question

f''(x)=Af^3(x),能用二阶微分方程求出f(x)么?f(x)的表达式是什么?

Answer 1

令p＝y’＝dy/dx,则
y''=dp/dx＝dp/dy*dy/dx=pdp/dy,原方程为
pdp=Ay^3dy
d(p^2)＝d(0.5Ay^4),
p^2=0.5Ay^4+C,
dy/dx=p＝根号(0.5Ay^4+C)
或dy/dx=p=－根号(0.5Ay^4+C).
由此分离变量得到y.
有初值就不用这么麻烦讨论了.