如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（12，0），点B的坐标为（6，8），点C在y轴的正半轴上．动点Q在OA上运动，从O点出发到A点，速度是每秒2个单位长度；动

Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（12，0），点B的坐标为（6，8），点C在y轴的正半轴上．动点Q在OA上运动，从O点出发到A点，速度是每秒2个单位长度；动点P在AB上运动，从A点出发到B点，速度是每秒1个单位长度，两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当点P运动至AB的中点时，求点P坐标；
（2）当t为何值时，QP⊥CQ？
（3）当t为何值时，△CPQ的面积有最大（小）值？并求出最大（小）值．

Answer 1

作PG⊥OC于G、BM⊥OA于M、PN⊥OA于N，
延长NP交CB于H，得PG∥ON，BM∥PN，PH⊥BC．
（1）∵当点P运动至AB的中点时，
∴AP=BP，CG=OG，
∴PG=(1)/(2)（CB+OA）=9，PN=(1)/(2)BM=4，
∴点P坐标为（9，4）；
（2）∵BM=8，AM=6，
∴AB=10，
又∵BM⊥MN，
∴△MBA∽△NPA，
可得AN=(3)/(5)t，PN=(4)/(5)t，
若QP⊥CQ，则应有△OCQ∽△NQP，
∴(2t)/((4)/(5)t)=(8)/(12−(3)/(5)t−2t)，
得t=(44)/(13)（秒），
当t=(44)/(13)s时，QP⊥CQ；
（3）设△CPQ的面积为S，
S=S_梯形ABCD-S_△OCQ-S_△AQP-S_△PCB
=72-(1)/(2)×8×2t-(1)/(2)（12-2t）(4)/(5)t-(1)/(2)×6×（8-(4)/(5)t）
=(4)/(5)t²-(52)/(5)t+48
=(4)/(5)(t−(13)/(2))2+(71)/(5)
∵0＜t≤6，
∴当t=6s时，△CPQ的面积取得最小值为(72)/(5)．