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如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.甲同学认为:若MN=EF,则MN⊥EF;乙同学认为:若MN⊥EF,则MN=EF.你认为()A.两人都不对B.两人都对C.仅甲
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如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.甲同学认为:若MN=EF,则MN⊥EF;乙同学认为:若MN⊥EF,则MN=EF.你认为( )
A. 两人都不对
B. 两人都对
C. 仅甲对
D. 仅乙对
A. 两人都不对B. 两人都对
C. 仅甲对
D. 仅乙对
▼优质解答
答案和解析
如图,过点E作EG⊥BC于点G,过点M作MP⊥CD于点P,设EF与MN相交于点O,MP与EF相交于点Q,
∵四边形ABCD是正方形,
∴EG=MP,
对同学甲的说法:
在Rt△EFG和Rt△MNP中,
,
∴Rt△EFG≌Rt△MNP(HL),
∴∠MNP=∠EFG,
∵MP⊥CD,∠C=90°,
∴MP∥BC,
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP,
又∵∠MNP+∠NMP=90°,
∴∠EQM+∠NMP=90°,
在△MOQ中,∠MOQ=180°-(∠EQM+∠NMP)=180°-90°=90°,
∴MN⊥EF,
当E向D移动,F向B移动,同样使MN=EF,此时就不垂直,
故甲不正确.
对乙同学的说法:∵MP⊥CD,∠C=90°,
∴MP∥BC,
∴∠EQM=∠EFG,
∵MN⊥EF,
∴∠NMP+∠EQM=90°,
又∵MP⊥CD,
∴∠NMP+∠MNP=90°,
∴∠EQM=∠MNP,
∴∠EFG=∠MNP,
在△EFG和△MNP中,
,
∴△EFG≌△MNP(AAS),
∴MN=EF,故乙同学的说法正确,
综上所述,仅乙同学的说法正确.
故选D.
∵四边形ABCD是正方形,
∴EG=MP,

对同学甲的说法:
在Rt△EFG和Rt△MNP中,
|
∴Rt△EFG≌Rt△MNP(HL),
∴∠MNP=∠EFG,
∵MP⊥CD,∠C=90°,
∴MP∥BC,
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP,
又∵∠MNP+∠NMP=90°,
∴∠EQM+∠NMP=90°,
在△MOQ中,∠MOQ=180°-(∠EQM+∠NMP)=180°-90°=90°,
∴MN⊥EF,
当E向D移动,F向B移动,同样使MN=EF,此时就不垂直,
故甲不正确.
对乙同学的说法:∵MP⊥CD,∠C=90°,
∴MP∥BC,
∴∠EQM=∠EFG,
∵MN⊥EF,
∴∠NMP+∠EQM=90°,
又∵MP⊥CD,
∴∠NMP+∠MNP=90°,
∴∠EQM=∠MNP,
∴∠EFG=∠MNP,
在△EFG和△MNP中,
|
∴△EFG≌△MNP(AAS),
∴MN=EF,故乙同学的说法正确,
综上所述,仅乙同学的说法正确.
故选D.
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