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二次方程X^2-2MX+(M-1)=0有且仅有一个正实数根,则实数M的取值范围
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二次方程X^2-2MX+(M-1)=0有且仅有一个正实数根,则实数M的取值范围
▼优质解答
答案和解析
∵二次方程X^2-2MX+(M-1)=0有且仅有一个正实数根
且△=4M²-4M+4=M²-M+1>0
故其必有2个根
且一正一负
则由伟达定理得
X1X2=c/a=(M-1)/1≤0
X1+X2=-b/a=2M/1
(1)当对称轴x=-b/2a=M≥0时
X1X2=c/a=(M-1)/1≤0
X1+X2=-b/a=2M/1≥0
解得M≤1且M≥0
故M∈[0,1]
（2）当对称轴x=-b/2a=M≤0时
X1X2=c/a=(M-1)/1≤0
X1+X2=-b/a=2M/1≤0
解得M≤0
故可得M∈（-∞,0]
综上所述当M∈ （-∞,1]时二次方程X^2-2MX+(M-1)=0有且仅有一个正实数根
且△=4M²-4M+4=M²-M+1>0
故其必有2个根
且一正一负
则由伟达定理得
X1X2=c/a=(M-1)/1≤0
X1+X2=-b/a=2M/1
(1)当对称轴x=-b/2a=M≥0时
X1X2=c/a=(M-1)/1≤0
X1+X2=-b/a=2M/1≥0
解得M≤1且M≥0
故M∈[0,1]
（2）当对称轴x=-b/2a=M≤0时
X1X2=c/a=(M-1)/1≤0
X1+X2=-b/a=2M/1≤0
解得M≤0
故可得M∈（-∞,0]
综上所述当M∈ （-∞,1]时二次方程X^2-2MX+(M-1)=0有且仅有一个正实数根
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