设f(x)=ax/x+a,令a1=1,a(n+1)=f(an）,又bn=an*a(n+1),求数列{an}的通项公式；求数列{bn}的前n项和

Question

设f(x)=ax/x+a,令a1=1,a(n+1)=f(an）,又bn=an*a(n+1),求数列{an}的通项公式；求数列{bn}的前n项和

Answer 1

a(n+1)=f[a(n)]=a*a(n)/[a(n)+a],
若a=0,a(n+1)=0.
{a(n)}的通项公式为a(1)=1,a(n)=0,n=2,3,...
b(n)=a(n)a(n+1)=0,
B(n)=b(1)+...+b(n)=0.
若a不为0.
若a(n+1)=0,则a(n)=0,...,a(1)=0,与a(1)=1矛盾.
因此,a(n)不为0.
1/a(n+1)=[a(n)+a]/[a*a(n)] = 1/a(n) + 1/a
{1/a(n)}是首项为1/a(1)=1,公差为1/a的等差数列.
1/a(n)=1+(n-1)/a=[n-1+a]/a,
a(n)=a/[n-1+a],
b(n)=a(n)a(n+1)=a^2/[(n-1+a)(n+a)]=a^2[1/(n-1+a) - 1/(n+a)],
B(n)=b(1)+b(2)+...+b(n-1)+b(n)
=a^2[1/a - 1/(1+a) + 1/(1+a) - 1/(2+a) + ...+ 1/(n-2+a) - 1/(n-1+a) + 1/(n-1+a) - 1/(n+a)]
=a^2[1/a - 1/(n+a)]
=na/(n+a)