什么叫切线?请给出定义!《《《由函数f(x)表示的曲线的切线一定存在斜率吗?为什么?在某局部与曲线相切了，在另外的某处该切线与曲线相交，咋么理解这种相切？

Question

什么叫切线?请给出定义!《《《由函数f(x)表示的曲线的切线一定存在斜率吗?为什么?
在某局部与曲线相切了，在另外的某处该切线与曲线相交，咋么理解这种相切？

Answer 1

高中只给出了圆和椭圆的切线的定义,那就是和圆（或椭圆）只有1个交点的直线.像抛物线就没有给出确切定义.
高等数学中对切线有确切定义.简单点说,连接曲线上任意两点A、B可以做一条割线,固定A不动,逐渐移动B向A靠近,割线AB的斜率在不断变化,当B趋向于A（就是无限接近A）时,这条线被称为曲线在A点切线.
曲线的切线不一定存在斜率,就是切线垂直于x轴就没有斜率了.比如说f(x)=根号(1-x²),这是以原点为圆心,1为半径的上半圆,它在(-1,0)以及(1,0)这两点都有切线,都垂直于x轴,所以没有斜率
LS说“切线和曲线只有一个交点”是不对的,比如f(x)=sinx,y=1就是一条切线,但它于f(x)有无穷多个交点.
所以在中学数学里只能感受一下,一条直线刚刚好碰到一条曲线,稍微移一点就可能碰不到了,那就是切线.
抛物线的切线和抛物线应该只有一个交点,但和抛物线只有一个交点的直线不一定是切线,比如抛物线的对称轴
对于圆和椭圆,切线和只有一个交点的直线是等价的.