有一角、二角、五角人民币各一张,一元人民币3张,五元人民币2张,一百元的2张,由这10张人民币可组成多少种不同的币值

Question

有一角、二角、五角人民币各一张,一元人民币3张,五元人民币2张,一百元的2张,由这10张人民币可组成多少种不同的币值

Answer 1

　　第一题：
　　由于按从小到大的顺序排列后,任意几个前面的币值加一块都不会超过后面的一个币值,所以在任意组合之后,绝对不会有相同的组合值.
　　（关于这个的理解,有时间去看一下二进制方面的知识,在这里就不多说了.）
　　进而,组合币值的种类数就是：所有一个的+所有两个的+... ...+十个的总币值.也就是
　　(C1、10)+(C2、10)+(C3、10)+(C4、10）+（C5、10）+（C6、10）+（C7、10）+（C8、10）+(C9、10)+(C10、10)
　　接下来计算它的值:
　　为此,先看（a+b）^10的二项展开式
　　（a+b）^10=
　　（C0、10）*(a^10)+(C1、10)*a^9b+(C2、10)*a^8b^2+(C3、10)*a^7b^3+(C4、10)*a^6b^4+(C5、10)*a^5b^5+(C6、10)*a^4b^6+(C7、10)*a^3b^7+(C8、10)*a^2b^8+(C9、10)*ab^9+(C10、10)*b^10
　　令a=b=1可得
　　(C0、10)+((C1、10)+(C2、10)+(C3、10)+(C4、10）+（C5、10）+（C6、10）+（C7、10）+（C8、10）+(C9、10)+(C10、10)=2^10
　　所以共可组成的币值种类数为：2^10-1=1023种.
　　第二题：
　　首先把纸币分成4组
　　,
　　显然,按照单一币值排序后,仍有前面总和不大于后面一个.
　　但是后三组的同一组中的币值任选哪一个都是一样的,任选其中两个也是一样的,所以不能再按第一题的方法做了.
　　考虑到：
　　共可以组成共2^3=8种币值（包括0）；
　　共可以组成零元、一元、两元和三元,共4种币值；
　　共可以组成零元、五元和十元,共3种币值；
　　共可以组成零元、一百元和两百元,共3种币值,
　　依然是每个括号中币值总和不超过下一个括号的一个面值,前面人一个括号币值总和不超过下个括号中的一个,所以有：
　　8*4*3*3=288种（包括零元在内）,进而可组成不同的币值的种类为：
　　288-1=287种.