已知an=(1+根号下2)的n次方(n属于N*)求证对于任意n属于N*,存在整数k,使得an=根号下（k-1）+根号下k

Question

已知an=(1+根号下2)的n次方(n属于N*) 求证对于任意n属于N*,存在整数k,使得an=根号下（k-1）+根号下k

Answer 1

证明：数学归纳法
（1）当n=1时,an=1+√2=a+b√2 （a、b∈Z）
对应得到a=1,为奇数,b=1
（2）假设n=k (k∈N*)时,ak=(1+√2)^k=a(k)+b(k)√2,(a、b∈Z),a(k)为奇数[a(k)的k为角标]
（3）n=k+1时,a(k+1)=(1+√2)^(k+1)=a(k+1) + b(k+1)√2
得到 (1+√2)^k * (1+√2)=[a(k)+b(k)√2] * (1+√2)=a(k+1) + b(k+1)√2
即a(k)+b(k)*2+[a(k)+b(k)]√2=a(k+1) + b(k+1)√2
对应得到 a(k+1)=a(k)+b(k)*2,
∵a(k)为奇数,b(k)为整数,
∴a(k+1)为奇数
（4）综上：a是奇数