三重积分先二后一截面法问题.求∫∫∫3zdv,积分区域是Ω是z=1－x²－¼y²（0≦z≦1),我知道可以变成 3∫zdz∫∫dxdy,而后面与z有关的截面不会求了,同时一般三重积分像椎体域或者球形

Question

三重积分先二后一截面法问题.
求∫∫∫3zdv,积分区域是Ω是z=1－x²－¼y²（0≦z≦1),我知道可以变成 3∫zdz∫∫dxdy,而后面与z有关的截面不会求了,同时一般三重积分像椎体域或者球形域等用先二后一方法中那个“二”的截面积算法.

Answer 1

首先那个截面必须是一个你很熟悉的平面图形,面积容易计算.
截面的写法其实很简单：就是侧面的曲面方程,只不过做截面时z当作常数看待.
因此截面方程为：x²+y²/4=1-z,这是一个椭圆,a=√(1-z),b=2√(1-z)
椭圆面积为：πab=2π(1-z)
因此原式=3∫[0→1] z dz∫∫dxdy
=6π∫[0→1] z(1-z) dz
=6π[(1/2)z²-(1/3)z³] |[0→1]
=π
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