求一个正交变换,把实二次型f（x1,x2,x3）=2X1x2+2X1x3-2X1X4-2X2X3+2X2X4+2X3X4化为标准型求过程哈,谢谢了

Question

求一个正交变换,把实二次型f（x1,x2,x3）=2X1x2+2X1x3-2X1X4-2X2X3+2X2X4+2X3X4化为标准型
求过程哈,谢谢了

Answer 1

A=
0 1 1 -1
1 0 -1 1
1 -1 0 1
-1 1 1 0
|A-λE|=
-λ 1 1 -1
1 -λ -1 1
1 -1 -λ 1
-1 1 1 -λ
c1+c2+c3+c4
1-λ 1 1 -1
1-λ -λ -1 1
1-λ -1 -λ 1
1-λ 1 1 -λ
ri-r1,i=2,3,4
1-λ 1 1 -1
0 -1-λ -2 2
0 -2 -λ-1 2
0 0 0 1-λ
= (1-λ)^2(λ-1)(λ+3).
所以 A 的特征值为 1,1,1,-3.
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,0,0)^T,a2=(0,0,1,1)^T,a3=(1,-1,1,-1)^T --已正交
(A+3E)x=0 的基础解系为 a4=(1,-1,-1,1)^T
单位化构成正交矩阵P=
1/√2 0 1/2 1/2
1/√2 0 -1/2 -1/2
0 1/√2 1/2 -1/2
0 1/√2 -1/2 1/2
则 x=Py 为正交变换,f=y1^2+y2^2+y3^2-3y4^2.