三角形ABC,角C 60度,BC长度大于1米,AC比AB长0.5米,求AC最短长度,

Question

三角形ABC,角C 60度,BC长度大于1米,AC比AB长0.5米,求AC最短长度,

Answer 1

由题意可知：
cosC=(a^2＋b^2－c^2)/2ab
设AB=x,BC=y
则0.5=(y^2+(x+0.5)^2-x^2)/(2y(x+0.5))
即 y^2+x+0.25=xy+0.5y
x=(y^2-0.5y+0.25)/(y-1)
=((y-1)^2+1.5(y-1)+0.75)/(y-1)
因为y>1,所以y-1>0
x=(y-1)+1.5+0.75/(y-1)>=2(0.75^0.5)+1.5=1.5+3^0.5
当且仅当y=1+(3)^0.5/2时成立
所以AC最短长度为2+根号3
BC为1+0.5根号3
也可以这么说：
设BC=a(a>1),AB=c AC=b,
所以,
b-c=0.5
c²=a²+b²-2abcos60°
将c=b-0.5代入得(b-0.5)²=a²+b²-ab
化简得b(a-1)=a²-1/4
因为a>1所以a-1>0
所以,
b=(a²-1/4)/(a-1)
=[(a-1)²+2a-2+3/4]/(a-1)
=(a-1)+3/4(a-1)+2
={√(a-1)-√[3/4(a-1)]}²+√3+2≥√3+2
当且仅当√(a-1)=√[3/4(a-1)]
即a-1=3/[4(a-1)]时取“=”号
即a=1+(√3)/2时,b有最小值2+√3
所以AC最短为2+√3米,此时BC为1+0.5根号3