求举例：一个二元函数（或是三元函数）在某一点不可微,但是方向向量可求.如题,再求出方向向量.

Question

求举例：一个二元函数（或是三元函数）在某一点不可微,但是方向向量可求.
如题,再求出方向向量.

Answer 1

例如函数f(x,y)=xy/√(x^2+y^2),(x,y)≠(0,0)
0 ,(x,y)=(0,0)
任取方向(cosα,sinα),则f(x,y)=f(tcosα,tsinα)=tcosαsinα,因此原点处沿该方向的方向导数=lim(tcosαsinα-0)/t（t趋于0）=cosαsinα,这样f在原点沿任意方向的方向导数存在.
下面证f在原点不可微,根据可微的定义,就是要证(x,y)趋于(0,0)时极限limf(x,y)/√(x^2+y^2)≠0,即证明limxy/(x^2+y^2)≠0,令y=kx,则极限=limkx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2),故沿不同的直线y=kx趋于原点时该极限的值不相同,因此这个极限不存在,自然更不等于0了,这就证明了f在原点不可微.