渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留也适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系

Question

渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留也适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值值时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，空闲率为 1-(x)/(m)，
∴y=kx（1-(x)/(m)），定义域为（0，m）；
（2）由（1）得
y=kx（1-(x)/(m)）=−(k)/(m)(x−(m)/(2))2+(km)/(4)，
因为 x∈（0，m），k＞0；
所以当x=(m)/(2)时，ymax＝(km)/(4)
（3）由题意有 0＜x+y＜m
即：0＜(m)/(2)+(km)/(4)＜m
因为m＞0，解得-2＜k＜2
又k＞0
故k的取取值范围为（0，2）．