有人可以用高斯的方法解出cos（2pi/17）的吗?RT解成分数的形式就可以了~如果可以的话可不可以说有什么公式可以解cos（k*pi/n）的~答得好追加..复制党别来..

Question

有人可以用高斯的方法解出cos（2pi/17）的吗?
RT
解成分数的形式就可以了~
如果可以的话可不可以说有什么公式可以解cos（k*pi/n）的~
答得好追加..复制党别来..

Answer 1

x^17-1=0的一个根是cos(2pi/17)+isin(2pi/17),记这个根是e,于是这个方程的所有根是1, e, e^2,..., e^16.
下面说的需要一点初等数论的知识,不知道你能否理解.素数17的最小原根是3,将所有复数根按下面的方式排列：e, e^3, e^9, e^27=e^10, e^30=e^13, e^39=e^5, e^15, e^45=e^11...也就是每次都是指数乘3,然后模17同余.会得到所有16个复数根,这是原根的性质,你可以自己尝试计算.
把这重新排列的根按奇偶分成两组,即设d1=e+e^9+e^13+e^15+...,d2=e^3+e^10+e^5+e^11+...,经过简单但是烦人的计算可知,d1+d2=-1, d1*d2=-4,用韦达定理可知d1,d2可以由x^2+x-4=0求得.那个正根是d1,负根是d2.
将d1的所有项还是按奇偶分成两组,即设c1=e+e^13+..., c2=e^9+e^15+...,还是求和和求积,c1+c2=d1, c1*c2=1（这些你都可以自己验证,用不了两张纸）,于是c1,c2可以由x^2-d1*x+1=0求得.
最后,再把c1的项按奇偶分成两组,b1=e+e^16,b2=e^13+e^4,求和和求积（和与积都是上次所得的结果）,用韦达定理求另一个二次方程,b1就是2cos(2pi/17).
这个计算十分麻烦,但这就是Gauss原始的方法.你问的一般的cos(2pi/n)一般不能用二次根式表达,除非是Fermat素数.但也非不能解,在Disquisitiones Arithematicae的第七章,Gauss就用后来被称为Gauss和的工具解了当素数n=1+3k的情况,比如cos(2pi/19),但需要解三次方程了.