《自然哲学的数学原理》中的第2章：向心力的确定 命题4 定理4沿不同圆周做均匀运动的物体,其向心力指向各自圆周轨道的中心,并且相互间在相等时间内与划过的弧的平方成正比,再除以圆

Question

《自然哲学的数学原理》中的第2章：向心力的确定 命题4 定理4
沿不同圆周做均匀运动的物体,其向心力指向各自圆周轨道的中心,并且相互间在相等时间内与划过的弧的平方成正比,再除以圆周半径.
根据命题2和命题1中的推论2,这些力（向心力）指向圆周的中心,它们之间的比值就正如最短弧在相等时间内经过的正弦之比,即正比于相同弧的平方除以圆周的直径.由于这些弧的比相当于在任意相等时间内划过的弧之比,而直径的比也等同于半径的比,因此,力正比于在相同时间内画过的任意弧长的平方,并除以圆周的半径.
最后一段的证明有点看不懂,

Answer 1

力与正弦成正比.此处的正弦即理解为弧（但是注意此处的弧是真正在极短时间内走过的弧的两倍,但这个两倍的因子能约掉,不影响结论）的中点到对应弦的中点的距离s（这是因为f=ma s=0.5a*(t平方)）,画出图根据几何关系就可以看出相等的极小段时间内的两段上述距离之比即为对应的弦的平方除以（直径减s）所得结果之比,在时间极短时即为弧的平方除以直径所得结果之比（直径减s约等于直径）.