因式分解只有一个固定答案吗

Question

因式分解只有一个固定答案吗

Answer 1

分解因式,不一定只有一个答案,
有时就要看看规定的数字范围,
例如
x^4 - 4
通常在有理数范围,
= (x")" - 2"
= ( x" - 2 )( x" + 2 )
在实数范围,
= [ x" - (√2)" ]( x" + 2 )
= ( x - √2 )( x + √2 )( x" + 2 )
在复数范围,
= ( x - √2 )( x + √2 )[ x" - (√2i)" ]
= ( x - √2 )( x + √2 )( x - √2i )( x + √2i )
另一方面,说到方式方法,也关系到对不对,是否正确.
正如分解质因数,要把数字变成所有质数相乘的乘积,
分解因式,就要彻底分解,尽可能降低各个因式的最高次数,
例如
x^6 - y^6
直接用平方差分解,
= ( x"' )" - ( y"' )"
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
就有立方和、立方差继续分解,
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于
64 - 1
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
这样才正确；
如果先用立方差,
= ( x" )"' - ( y" )"'
= ( x" - y" )( x^4 + x"y" + y^4 )
接下来只看到平方差,
= ( x - y )( x + y )( x^4 + x"y" + y^4 )
相当于
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.
难道 x^4 + x"y" + y^4 真的就不能继续分解吗?
方法肯定有,却没有那么直接,就要有经验了,
x^4 + x"y" + y^4
= (x")" + 2x"y" + (y")" - x"y"
= ( x" + y" )" - ( xy )"
= ( x" + y" - xy )( x" + y" + xy )
怎么样?立方和、立方差这两个二次三项式的因式,也是平方差的关系.
总之,为了避免出错,我们就应该熟悉多种解法,
看看不同的方式方法,是不是得到同一个结果,
这样也能够相互检验,确保最终解答正确.