政府欲在大陆和岛屿之间建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往,大陆沿海线可进似看作函数fx=a^x(a＞1)的图像,且正好与直线y=x相切,而岛屿海岸线可进似看作函数gx=log以a为底(x-3)(a>1)的

Question

政府欲在大陆和岛屿之间建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往,大陆沿海线可进似看作函数fx=a^x(a＞1)的图像,且正好与直线y=x相切,而岛屿海岸线可进似看作函数gx=log以a为底(x-3)(a>1)的图像
①试求a的值及切点坐标
②已知建成后的高速通道将开通高铁,并且高铁的最高时速不能超过300km/h,试问高铁能否在半小时内穿过高速通道?请说明理由.

Answer 1

第一问：(a^x)'=a^x*lna=1得a^x=1/lna,
x=log_a(1/lna)=-(lnlna)/lna
联立y=x,y=a^x得
1/lna=-(lnlna)/lna
得lnlna=-1,所以a=e^[(e^(-1)]
那么x=e,y=e
切点坐标为(e,e)
第二问：
显然y=log_a(x-3)的图像上的任意点到y=x的距离≤到y=a^x的距离
设岛屿海岸线上任意点(m,n)到y=x的距离为d=|m-n|/√2
且n=log_a(m-3),m=a^n+3
d=|a^n-n+3|/√2
y=a^x与y=x的关系第一问已知道,在x=e时,a^x=x,x≠e时,a^x>x
所以d的最小值为3/√2,在n=e时取得
所以y=a^x到y=log_a(x-3)的最短距离为3/√2,
高铁的最高时300km/h,半小时通过距离为150km
d=3/√2=2.1,单位题目没提供,应该是210km吧?
所以能通过