求微分方程(x^2y^3-2xy)dy/dx＝1的通解

Question

求微分方程(x^2y^3-2xy)dy/dx＝1的通解

Answer 1

设z=1/x,则dx=(-1/z²)dz
代入原方程得(2yz-y³)dy/dz=1
==>dz/dy=2yz-y³.(1)
现在用常数变易法解方程(1):
∵dz/dy=2yz ==>dz/z=2ydy
==>ln│z│=y²+ln│C│ (C是积分常数)
==>z=Ce^(y²)
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为z=C(y)e^(y²) (C(y)表示关于y的函数)
∵把z=C(y)e^(y²)代入方程(1),得C'(y)e^(y²)=y³
==>C'(y)=y³e^(-y²)
==>C(y)=∫y³e^(-y²)dy=C-(y²+1)e^(-y²)/2 (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是z=[C-(y²+1)e^(-y²)/2]e^(y²)=Ce^(y²)-(y²+1)/2
故原方程的通解是1/x=Ce^(y²)-(y²+1)/2 (C是积分常数).