急求(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+.+(1/n)^2的简单通项公式,谢谢

Answer 1

n趋近+∞时,1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²的值趋近于π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式

将sinx按泰勒级数展开,得：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x²,则有sin(√y)/(√y)＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0、±π、±2π、…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²、(2π)²、…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²、(2π)²、…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和＝一次项系数的相反数
即,1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
所以,(1/1)²＋(1/2)²＋(1/3)²＋ … ＋(1/n)²＋……＝π²/6