怎么样证明,如果(a,b)=1,(也就是说a,b互质),(a-b,a+b)=1或者2

Question

怎么样证明,如果(a,b)=1,(也就是说a,b互质),(a-b,a+b)=1或者2

Answer 1

因为(a,b)=1
所以存在u,v使得ua+vb=1
所以u(a+b)+(u-v)(-b)=1
v(a+b)+(u-v)a=1
把以上两式相加得(u+v)(a+b)+(u-v)(a-b)=2
如果a+b被2整除,那么a-b也被2整除,我们可得(a-b,a+b)=2
如果u+v被2整除,那么u-v也被2整除,我们可得(a-b,a+b)=1；
如果a+b不被2整除,u+v不被2整除,那么a-b也不被2整除,u-v也不被2整除,此时必然u,v,a,b均为奇数,这与ua+vb=1矛盾.