一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m：n,其中m,n是互质的正整数,则这个多边形是几边形?（尽量不要用含有字母的狮子,给个实数,若没有,就算了）

Question

一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m：n,其中m,n是互质的正整数,
则这个多边形是几边形?（尽量不要用含有字母的狮子,给个实数,若没有,就算了）

Answer 1

设多边形的每一个内角=km,则每一个相邻的外角=kn,
∴km＋kn=180°,∴k=180／﹙m＋n﹚,
由多边形外角定理得：多边形外角和=360°,
∴多边形的边数=360／﹙kn﹚
=360／[180n／﹙m＋n﹚]
=2﹙m＋n﹚／n
=2(m／n)＋2,
∵多边形的边数一定是正整数,而m、n互质,
∴n只能等于2,
∴多边形的边数=m＋2.