在梯形ABCD中 AD平行BC AB=CD=AD=2 ∠B=60° 点E是AB的中点 以DE为边向右下方作正三角形DEF 边EF DF分别交BC于P Q 则PQ长度为

Question

在梯形ABCD中 AD平行BC AB=CD=AD=2 ∠B=60° 点E是AB的中点 以DE为边向右下方作正三角形DEF 边EF DF分别交BC于P Q 则PQ长度为

Answer 1

BC中点为G.连接AG、FG.
由条件知等腰梯形ABCD,内角60度,相当于3个等边三角形ABG、ADG、CDG.
△ADE相等于△GDF（边角边）
所以∠DGF=∠DAE=120度.所以A、G、F在一条直线上.
所以∠QGF=60度；GF=AE.
所以△GQF∽△CQD
所以GQ：CQ=QF：CD=AE：CD=1:2
所以CQ=2/3 * GC = 2/3 * CD =4/3.
再∠QDC=∠QPF=∠BPE
所以△DCQ∽△PBE
所以BP：CD=BE：CQ
BP=BE/CQ *CD = 1*2/ (4/3) = 3/2
所以PQ=BC-BP-CQ=4-3/2-4/3 =2-1/2 -1/3 = 7/6