sinx的n次方*cosx的n次方的奇偶性怎么看?多个周期函数相乘或是sinx的n次方+cosx的n次方的周期又怎么算?

Question

sinx的n次方*cosx的n次方的奇偶性怎么看?
多个周期函数相乘或是sinx的n次方+cosx的n次方的周期又怎么算?

Answer 1

下面默认n是正整数.
------------------------------------
设 f(x)=[sin(x)]^n+[cos(x)]^n, n∈N+.
(1)当 n=2k-1, k∈N+ 时,
f(x+2π)=f(x).
所以 2π 是 f(x) 的一个周期.
令 f(x)=0,
解得 x=3π/4+kπ, k∈N+.
i)当 T1∈(0,2π)且 T1≠π时,
取 x1=3π/4-T1.
则 f(x1)≠0,
f(x1+T1)=0.
所以 T1 不是f(x) 的周期.
ii)当 T2=π 时,
取 x2=0.
则 f(x2)=1,
f(x2+T2)= -1.
所以 T2 不是f(x)的周期.
综上, 当 n=2k-1, k∈N+ 时,
f(x)的最小正周期是 2π.
(2)当n=2时,
f(x)=1, x∈R.
此时, 任意非零实数都是f(x)的周期,f(x)没有最小正周期.
(3)当n=2k+2, k∈N+时,
f(x+π/2)=f(x).
所以 π/2是f(x)的一个周期.
当T3∈(0,π/2)时,
取 x3=π/2-T3.
则 sin(x3),cos(x3)∈(0,1).
所以 [sin(x3)]^(2k+2)