做一个圆柱形锅炉,容积为v,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,问锅炉的直径与高的比为多少时,造价最低?

Question

做一个圆柱形锅炉,容积为v,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,问锅炉的直径与高的比为多少时,造价最低?

Answer 1

设总造价为C,根据题意有,
V=π*r²h
C=2π*r²*a+2π*r*h*b
h=V/π*r²,代入有
C=2π*r²*a+2π*r*V/π*r²*b=2π*r²*a+2Vb/r=2π*r²*a+Vb/r+Vb/r≥3（2π*r²*a*Vb/r*Vb/r）^(1/3)=3(2πab²V²)^(1/3)
当且仅当,2π*r²*a=Vb/r,等号成立
∴r=(Vb/2πa)^(1/3)
此时,D/h=2r/h=r/(V/π*r²)=2πr³/V=b/a